一类递归方程的投票模型与紧性

我们考虑形如 $u_{n+1}(x)=Q[u_n](x),~n\ge 1,~x\in R$ 的递归方程，其中非局部算子 $Q[u](x)= g( u\ast q)$，$g$ 为多项式且满足 $g(0)=0$，$g(1)=1$，$g((0,1)) \subseteq (0,1)$，$q$ 为（紧支撑的）概率密度，$\ast$ 表示卷积。受 Etheridge, Freeman 和 Penington (2017) 发起的非线性 PDE 研究工作的启发，我们证明了对于一般的 $g$，可以基于分支随机游走为该递归的解提供一个概率模型；而在 $g$ 同时严格单调的情况下，可以提供一个基于阈值的概率模型。在后一种情况下，我们给出了一个条件紧性结果。我们详细分析了双稳态情形，并证明了其解在以 $n$ 的线性函数为中心进行平移后的收敛性。