曲面上 Quot 概形的虚拟 $\chi_{-y}$-亏格

本文研究曲面上 Grothendieck Quot 概形的虚拟 $\chi_{-y}$-亏格，从而细化了 Oprea-Pandharipande 关于虚拟欧拉特征的计算。我们首先证明了一个结构性的结果，将 Quot 概形的等变虚拟 $\chi_{-y}$-亏格用 Seiberg-Witten 不变量普遍地表达出来。对于文中定义的 Seiberg-Witten 长度 $N$ 的曲线类，该公式更为简洁。作为应用，我们在以下情形给出完整答案：(i) 零曲线类对任意曲面，(ii) 相对极小椭圆曲面对纤维类的有理倍数，(iii) 具有 $p_g>0$ 的极小一般型曲面对任意曲线类。此外，对 Seiberg-Witten 长度 $N$ 的曲线类获得了爆破公式。作为这些计算的结果，我们证明了对于所有 $p_g>0$ 的曲面，虚拟 $\chi_{-y}$-亏格的生成级数是由有理函数给出的，从而解决了 Oprea-Pandharipande 的一个猜想。另外，我们研究了 $K3$ 曲面及原曲线类在约化 $\chi_{-y}$-亏格方面与 Kawai-Yoshioka 公式的联系。