$\varepsilon$-维数在无限维双曲交叉逼近及参数椭圆偏微分方程中的应用
数值分析
2017-03-02 v1
摘要
本文中，我们给出了 Sobolev-解析型 Hilbert 空间张量积中逼近的成本-收益分析。Sobolev 部分定义于有限维域，而解析空间定义于无限维域。作为主数学工具，我们使用 Hilbert 空间中子集的 -维数。-维数给出了在 Hilbert 空间范数下将该集合中的元素逼近至精度 所需的最少线性信息量。从实际角度看，这意味着我们先验地固定一个精度，并询问达到此精度所需的信息量。此类分析通常需要对某些索引集的基数给出精确估计，而在我们的情形中这些索引集是无限维双曲交叉。作为主要结果，我们获得了 Sobolev-解析型函数类的 -维数的尖锐界，其仅依赖于 Sobolev 空间中的光滑性差异以及这些空间所定义的有限维域的维度。这尤其意味着，除常数因子外，无限维（解析）逼近问题的成本由有限变元 Sobolev 逼近问题主导。我们通过源自参数偏微分方程正则性理论的函数空间例子演示了这一流程。
引用
@article{arxiv.1703.00128,
title = {$\varepsilon$-dimension in infinite dimensional hyperbolic cross approximation and application to parametric elliptic PDEs},
author = {Dinh Dũng and Michael Griebel and Vu Nhat Huy and Christian Rieger},
journal= {arXiv preprint arXiv:1703.00128},
year = {2017}
}