消失平面：函数平面性的组合视角及其应用

对于从 $\mathbb{F}_2^n$ 到 $\mathbb{F}_2^n$ 的函数 $f$，其平面性通常由差分一致数与差谱来度量。本文提出消失平面（vanishing flats）的概念，为平面性提供组合视角。首先，$f$ 的消失平面个数可视为 $f$ 与几乎完美非线性函数集合之间距离的一种度量。在某些情况下，消失平面个数作为差分一致数与差谱之间的“中间”概念，其包含的信息多于差分一致数但少于差谱。其次，消失平面集合构成一种称为偏四元组系统的组合构型，因为它传达了关于 $f$ 的详细结构信息。我们通过考察单项式与 Dembowski-Ostrom 多项式相关的消失平面个数及偏四元组系统来开启此研究。此外，我们给出了消失平面在将向量空间划分为不相交等维仿射空间中的应用。我们以若干进一步的问题与挑战结束本文。