平面 st-图的向上点集嵌入

我们研究平面 $st$-图的向上点集嵌入（UPSEs）。设 $G$ 为一个平面 $st$-图，设 $S \subset \mathbb{R}^2$ 为一个满足 $|S|= |V(G)|$ 的点集。$G$ 在 $S$ 上的 UPSE 是 $G$ 的一个向上平面直线绘制，将 $G$ 的顶点映射到 $S$ 的点。我们同时考虑测试 $G$ 在 $S$ 上是否存在 UPSE 的问题（UPSE 测试）以及枚举 $G$ 在 $S$ 上的所有 UPSE 的问题。我们证明，即使对于仅由一组共享 $s$ 和 $t$ 的有向 $st$-路径组成的 $st$-图，UPSE 测试也是 NP 完全的。另一方面，如果 $G$ 是一个 $n$ 顶点平面 $st$-图，其最大 $st$-割集大小为 $k$，则 UPSE 测试可以在 $O(n^{4k})$ 时间和 $O(n^{3k})$ 空间内解决；此外，在 $O(k n^{4k} \log n)$ 的预处理时间后，可以使用 $O(k n^{4k} \log n)$ 空间以 $O(n)$ 的最坏情况延迟枚举 $G$ 在 $S$ 上的所有 UPSE。此外，对于一个其底图为环的 $n$ 顶点 $st$-图，我们给出了在给定点集上存在 UPSE 的充分必要条件，该条件可以在 $O(n \log n)$ 时间内测试。与此结果相关，我们给出了一个算法，对于 $n$ 个点的集合 $S$，在 $O(n^2)$ 的预处理时间后，使用 $O(n^2)$ 空间以 $O(n)$ 的最坏情况延迟枚举 $S$ 上的所有非交叉单调哈密顿环。