多胞形相变与消息传递算法中的普适性

我们考虑一类由具有独立项的对称随机矩阵 $A\in\mathbb{R}^{N\times N}$ 索引的 $\mathbb{R}^N$ 中的非线性映射 $\mathsf{F}_{A,N}$。在自旋玻璃理论中，这些映射的特例对应于迭代 TAP 方程，并已由 Bolthausen [Comm. Math. Phys. 325 (2014) 333-366] 进行研究。在信息论中，它们被称为“近似消息传递”(approximate message passing) 算法。我们研究了多项式函数 $\mathsf{F}$ 的迭代在高维（大 $N$）下的行为，并证明其具有普适性；即，在次高斯尾条件下，它仅取决于 $A$ 的项的前两阶矩。作为应用，我们证明了多胞形几何和压缩感知中出现的某种相变的普适性。这针对一大类随机投影，解决了 David Donoho 和 Jared Tanner 提出的猜想。