零程相互作用下三粒子转动 - 振动谱的普适描述

本文给出了在任意质量比 $m/m_1$ 和总角动量 $L$ 下，两个质量为 $m$ 的全同粒子与第三个质量为 $m_1$ 的粒子在零程相互作用极限下的转动 - 振动谱的完整普适描述。若两体散射长度为正，则当 $L_c(m/m_1) \le L \le L_b(m/m_1)$ 时振动态数目有限，当 $L>L_b(m/m_1)$ 时为零，当 $L<L_c(m/m_1)$ 时为无穷大。若两体散射长度为负，则当 $L \ge L_c(m/m_1)$ 时态数目为零，当 $L<L_c(m/m_1)$ 时为无穷大。对于有限数目的振动态，所有结合能均由普适函数 $\epsilon_{LN}(m/m_1) = {\cal E}(\xi, \eta)$ 描述，其中 $\xi=\displaystyle\frac{N-1/2}{\sqrt{L(L + 1)}}$，$\eta=\displaystyle\sqrt{\frac{m}{m_1 L (L + 1)}}$，且 $N$ 为振动量子数。这种标度依赖关系与 $L > 2$ 时的数值计算结果一致，且与 $L = 1, 2$ 时的结果仅有微小偏差。普适描述表明，临界值 $L_c(m/m_1)$ 和 $L_b(m/m_1)$ 分别按 $0.401 \sqrt{m/m_1}$ 和 $0.563 \sqrt{m/m_1}$ 增加，而对于 $L \ge L_c(m/m_1)$，振动态数目在 $N \le N_{max} \approx 1.1 \sqrt{L(L+1)}+1/2$ 范围内。