集合划分的普适与近普适圈

我们研究集合 $[n]:=\{1,2,\ldots,n\}$ 的 $k$-划分集合 ${\cal P}(n,k)$ 的普适圈，并证明与 ${\cal P}(n,k)$ 关联的转移有向图是欧拉图。但这并不意味着普适圈（或 ucycles）存在，因为顶点表示划分的等价类！然而，我们利用这一结果证明当 $k=2$ 时对所有 $n \geq 3$ ${\cal P}(n,k)$ 的 ucycles 存在。我们重新证明了当 $k = n-1$ 时对奇数 $n$ 它们存在，而对偶数 $n$ 则不存在。证明了 ucycles 不存在的 $(n,k)$ 的无限族是那些 $S(n-2, k-2)$ 为奇数（$3 \leq k < n-1$）的数对。我们还证明了当 $k$ 充分小于 $n$ 时，存在将 $[n]$ 划分为大小不同的 $k$ 个子集的普适圈，因此存在 ${\cal P}(n,k)$ 中划分的普适填充。关于覆盖的类似结果完成了该调研。