全息--David 正则性 Steiner 树

著名的 Steiner 树问题是寻找集合 $St$ 的最小一维 Hausdorff 测度 $H$（长度），使得 $St \cup \mathcal{A}$ 连通，其中 $\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^d$ 为给定紧致集合。Paolini 和 Stepanov 提供了 Steiner 问题的非常一般的存在性和正则性结果。其主要正则性结果指出，在自然假设下，$H(St) < \infty$，对于几乎每个 $\varepsilon>0$，集合 $St_\varepsilon := St\setminus B_\varepsilon(\mathcal A)$ 是嵌入的有限森林（无环图）。我们给出定量正则性结果，通过证明集合 $St_\varepsilon$ 具有 Ahlfors--David 正则性，其常数仅依赖于 $d$（而非 $\mathcal{A}$）。即对于 $d > 2$，每个 $\varepsilon > 0$，每个 $x \in St_\varepsilon$，以及每个 $\rho \in (0,1)$，有\n\n$$\frac{H \left (St_\varepsilon \cap B_{\rho \varepsilon}(x) \right) }{\varepsilon} \leq \left ( \frac{144d}{1-\rho} \right) ^{d-2}.$$\n\n作为推论，我们获得密度型结果，即集合 $St_\varepsilon \cap B_{\rho \varepsilon}(x)$ 由最多\n\n$$\left ( \frac{144d}{1-\rho} \right) ^{d-1}$$\n\n条线段组成。在平面上（即 $d=2$ 时），可以获得紧致的结构结果。