Riesz 表示定理、Daniell-Stone 定理与概率代数 Stone 表示定理的一致逻辑证明

Riesz 表示定理、关于 Daniell 积分的 Daniell-Stone 定理以及关于概率和测度代数的 Stone 表示定理是分析学中关于具有特定性质的测度存在性的三个重要的经典结果。在分析学文献中可以找到这些定理的许多证明，从使用测度论常规技巧的基础证明，到更复杂的证明，例如采用非标准分析技巧的证明，特别是针对 Riesz 表示定理。在本文中，作为第一个目标，我们给出了这三个定理的新证明。我们的证明具有轻微的逻辑色彩，并且是一致的，因为它们都基于相同的一般思想，并依赖于将逻辑中的同一技术工具应用于测度论，即逻辑紧致性定理。事实上，作为本文的第二个目标，我们试图进一步揭示逻辑方法在分析学特别是测度论中的威力，并在分析与逻辑之间建立更强的联系。我们使用“积分逻辑”的设定，这是一个逻辑框架（也是概率逻辑的形式之一），用于通过逻辑手段研究测度和概率结构。实际上，我们详细阐述了这一设定，并利用其表达能力及其中成立的紧致性定理的一个版本，通过为上述测度存在定理提供新证明来展示其在测度论中的应用。如前所述，这些证明的一个优点是它们都是以一致的方式给出的，因为它们都基于逻辑紧致性定理。本文主要面向一般数学家，特别是以从事分析或逻辑研究的人员作为主要受众撰写。因此，它是自洽的，读者不需要具备任何来自逻辑或测度论的高级预备知识。