击中禁止 minors 的统一核化复杂度
摘要
F-Minor-Free Deletion 问题询问：对于固定的集合 F 以及由图 G 和整数 k 组成的输入，是否可以从 G 中移除 k 个顶点，使得结果图不包含 F 中的任何成员作为 minor。本文分析了 F-Minor-Free Deletion 在多大程度上可以实现可证明有效且高效的预处理。Fomin 等人（FOCS 2012）表明，特殊情况 Planar F-Deletion（当 F 包含至少一个平面图时）具有大小为 f(F) * k^{g(F)} 的核，其中 f 和 g 为某些函数。多项式的次数 g 增长非常迅速；甚至未知其是否可计算。Fomin 等人留下一个开放问题：Planar F-Deletion 是否具有大小统一为多项式的核，即形式为 f(F) * k^c 的核，其中 c 为不依赖于 F 的通用常数。本文的结果有两方面。(1) 我们证明某些 Planar F-Deletion 问题不具有统一多项式核（除非 NP 包含于 coNP/poly）。具体而言，我们证明除非 NP 包含于 coNP/poly，否则 Treewidth-Eta Deletion 对于任何 eps > 0 都不具有拥有 O(k^{eta/4} - eps) 个顶点的核。事实上，我们甚至证明了针对更大参数顶点覆盖数的核化下界。这解决了 Cygan 等人（IPEC 2011）提出的一个开放问题。一个自然的问题是，对 F 的进一步限制是否会导致统一多项式核。然而，我们证明即使 F 包含一条路径，多项式的次数通常也必须依赖于集合 F。(2) 当 F 包含一条路径时，一个典型的 F-Minor-Free Deletion 问题是 Treedepth-eta Deletion：是否可以移除 k 个顶点以获得树深至多为 eta 的图？我们证明对于每个固定的 eta，Treedepth-eta Deletion 允许具有 O(k^6) 个顶点的统一多项式核。为了开发该核化方法，我们证明了关于最优树深分解结构的几个新结果。
引用
@article{arxiv.1502.03965,
title = {Uniform Kernelization Complexity of Hitting Forbidden Minors},
author = {Archontia C. Giannopoulou and Bart M. P. Jansen and Daniel Lokshtanov and Saket Saurabh},
journal= {arXiv preprint arXiv:1502.03965},
year = {2015}
}
备注
34 pages, 3 figures