最佳L^{p}逼近序列的一致收敛性

设 $f$ 为定义在实线紧区间 $[a,b]$ 上的连续单调实函数。给定 $[a,b]$ 的一列分割 $$，$\left\Vert {\Delta }_{n}\right\Vert \rightarrow 0$，以及给定 $l\geq 0,m\geq 1$，令 $\mathbf{S}_{m}^{l}(\Delta _{n})$ 为所有与 $f$ 具有相同单调性、在 $\Delta_n$ 上分片为 $m$ 阶多项式且属于光滑类 $C^{l}[a,b]$ 的函数构成的空间。本文证明，对任意 $m\geq 2l+1$， $\bullet$ $\mathbf{S}_{m}^{l}(\Delta _{n})$ 中的最佳 $L^p$-逼近序列在 $(a,b)$ 的任意紧子区间上一致收敛于 $f$； $\bullet$ $\mathbf{S}_{m}^{0}(\Delta _{n})$ 中的最佳 $L^p$-逼近序列在整个区间 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$。