对数 Sobolev 不等式、$\mathcal{W}$- 泛函及其标量曲率刚性的幂级数展开

本文证明，对数 Sobolev 不等式和 $\mathcal{W}$- 泛函在选取适当的测试函数后具有惊人的幂级数展开。利用这些展开公式，我们证明对于一个开放子集 $V$ 在 $n$ 维流形 $M$ 中，且 $\bar{V} \subset M$ 满足：(a) $V$ 的标量曲率满足下界：$$\operatorname{Sc}(x) \geq n(n-1)K \quad \text{对于所有 } x \in V,$$ (b) $V$ 的等面积轮廓不小于空间形式 $M^n_K$：$$\operatorname{I}(V,\beta) := \inf_{\substack{\Omega\subset V \\ \mathrm{Vol}(\Omega)=\beta}} \mathrm{Area}(\partial \Omega) \geq \operatorname{I}(M^n_K,\beta) \quad \text{对于某个 } \beta_0>0 \text{且所有 } 0<\beta<\beta_0,$$ **则** $V$ 的截面曲率必须满足 $$\operatorname{Sec}(x) = K \quad \text{对于所有 } x \in V.$$ 此外，我们推导出一些关于对数 Sobolev 不等式和 Perelman $\boldsymbol{\mu}$- 泛函的新型标量曲率刚性定理。