随机系数 Allen--Cahn 方程分岔的不确定性量化分析
数值分析
2024-08-14 v2 数值分析
动力系统
摘要
本文考虑 Allen--Cahn 方程，它是非线性动力学中一个典型的模型问题，表现出与确定性分岔参数变化相对应的分岔。我们超越了现有技术水平，在方程的线性反应部分引入随机系数，从而考虑随机、空间异质效应。重要的是，我们假设随机系数具有空间常数的确定性均值。我们证明该均值实际上是随机系数 Allen--Cahn 方程中的一个分岔参数。此外，我们证明分岔点和分岔曲线成为随机对象。我们考虑两种不同的建模情形：(i) 对于空间齐次系数，我们推导出分岔点分布的解析表达式，并证明分岔曲线是固定参考曲线的随机平移；(ii) 对于空间异质系数，我们采用广义多项式混沌展开来逼近随机分岔点和分岔曲线的统计性质。我们给出一维物理空间中的数值算例，其中我们将用于数值延拓的流行软件包 Continuation Core and Toolboxes (CoCo) 与用于多项式混沌展开的 Sparse Grids Matlab Kit 相结合。我们的论述同时涉及动力系统和不确定性量化，强调了如何将这两个领域的解析和数值工具有效结合，用于随机微分方程分岔这一具有挑战性的不确定性量化分析。
引用
@article{arxiv.2404.04639,
title = {Uncertainty quantification analysis of bifurcations of the Allen--Cahn equation with random coefficients},
author = {Christian Kuehn and Chiara Piazzola and Elisabeth Ullmann},
journal= {arXiv preprint arXiv:2404.04639},
year = {2024}
}