非负随机变量倒数均值的无偏估计

许多模拟问题需要估计两个期望的比值。近年来已提出可无偏估计此类比值的蒙特卡洛估计量。我们研究此类估计量在估计 $\beta = 1/\mathbb{E}\, Z$（其中 $Z \geq 0$）时的理论性质。该估计量 $\widehat \beta(w)$ 形如 $w/f_w(N) \prod_{i=1}^N (1 - w\, Z_i)$，其中 $w < 2\beta$，$N$ 为在正整数上具概率质量函数 $f_w$ 的任意随机变量。对固定的 $w$，$f_w$ 的最优选择已得到充分理解，但 $w$ 的选择则较少被研究。我们研究 $\widehat \beta(w)$ 作为 $w$ 的函数的性质，并证明其期望时间方差积随 $w$ 减小而下降，尽管构造该估计量的代价随 $w$ 增大而增加。我们还证明该估计量渐近等价于最大似然（有偏）比值估计量，并建立了实用的置信区间。