树状奇点上的分支超度量空间

设 $S$ 为正规复解析曲面奇点。若其任意解消的对偶图为一棵树，则称 $S$ 是树状的。每当 $A,B$ 是 $S$ 上不同的分支，我们用 $A \cdot B$ 表示 Mumford 意义下的交集数。若 $L$ 为一固定分支，我们定义当 $A \neq B$ 时 $U_L(A,B)= (L \cdot A)(L \cdot B)(A \cdot B)^{-1}$，否则 $U_L(A,A) =0$。我们通过证明以下结论推广了 P{\l}oski 关于光滑曲面芽的定理：每当 $S$ 是树状的，则 $U_L$ 是 $S$ 上异于 $L$ 的分支集合上的一个超度量。我们计算了 $U_L$ 的最大值，给出了 Teissier 定理的一个类比。我们表明 $U_L$ 编码了任意有限分支集的嵌入解消结构的拓扑信息。这推广了 Favre 与 Jonsson 关于 $S$ 和 $L$ 均光滑的情形的定理。我们还将其对偶树的解消的赋值解释从光滑芽推广到任意树状奇点。我们的证明本质上基于 Eisenbud 与 Neumann 的一个行列式恒等式。