两个 Hornich-Hlawka 型及基于 Gram 矩阵的不等式

我们在实内积空间中建立了两个不等式。第一个是经典 Hornich-Hlawka 不等式的乘法强化形式：对于实内积空间 $H$ 中的所有向量 $x, y, z$，$$\|x\|\,\|y\| + \|z\|\,\|x+y+z\| \;\geq\; \|x+z\|\,\|y+z\|.$$ 我们根据 $x,y,z$ 的线性相关性及其 Gram 矩阵的显式条件，对等号成立的情形进行了完整刻画，特别证明了等号仅在平直（至多二维）构型中成立。我们还证明了该不等式蕴含经典的 Hornich-Hlawka 不等式，从而在两者之间建立了严格的层级关系。第二个结果是由 Gram 矩阵的半正定性导出的参数不等式：对于所有 $x,y,z \in H$ 及 $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$，$$\alpha^2\|x\|^2\langle y,z\rangle^2 + \beta^2\|y\|^2\langle x,z\rangle^2 + \gamma^2\|z\|^2\langle x,y\rangle^2 + 2(\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)\langle x,y\rangle\langle x,z\rangle\langle y,z\rangle \;\geq\; 0.$$ 对参数进行优化后，得到了关联三个向量两两内积与范数的锐利不等式，这可视为 Gram 行列式不等式 $\det G \geq 0$ 的逆向不等式。作为特例，该结果恢复并强化了经典的 Cauchy-Schwarz 不等式。