正交不变矩阵函数的二阶 Epigraph 可微性及其应用

本文聚焦于正交不变矩阵函数的二阶变分分析。众所周知，正交不变矩阵函数是定义在 ${\mathbb M}_{m,n}\,(n \leqslant m)$ 上的一种 extended-real-value 函数，其形式为 $f \circ \sigma$，其中 $f \colon \R^n \rightarrow [-\infty,+\infty]$ 为绝对对称函数，$\sigma \colon {\mathbb M}_{m,n} \rightarrow \R^{n}$ 为奇异值函数。我们建立了正交不变矩阵函数的多个二阶性质，包括抛物线 Epigraph 可微性、抛物线正则性以及在其关联的绝对对称函数具有某些性质时的最二阶 Epigraph 可微性。具体而言，我们证明了实 $m \times n$ 矩阵的核范数是二阶 Epigraph 可微的，并推导了其二阶 Epigraph 导数的显式表达式。此外，对于凸正交不变矩阵函数，我们计算了其二阶次导数，提出了最佳二阶 Epigraph 可微性的充分条件。这使我们能够为一类矩阵优化问题建立二阶最优性条件。