针对结构规整性较弱矩阵的真正次立方 Min-Plus 乘积及其中的应用

本文的目标是为较先前所知结构规整性更弱的输入获得真正次立方的 Min-Plus 乘积算法，并将其应用于全点对最短路径（APSP）的若干版本及其他问题。结果如下：（1）我们的主要结果是首个针对两个 $n\times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 的 Min-Plus 乘积的真正次立方算法，其中 $B$ 具有整数条目为 $\text{polylog}(n)$ 比特，且 $B$ 可划分为 $n^{\epsilon}\times n^{\epsilon}$ 块（对任意 $\epsilon>0$），每块在 $\ell_\infty$ 范数下至多与某个常数秩整数矩阵相差 $n^\delta$（其中 $\delta<3-\omega$，$2\leq \omega<2.373$）。该结果给出了迄今可在真正次立方时间内求解的 Min-Plus 乘积的最一般情形。（2）我们主要结果的第一个应用是针对一类新型几何图的 APSP 的真正次立方算法。我们的结果推广了 Chan'10 在整数边权情形下的结果，允许权值与端点标识的函数相差至多 $n^\delta$（$\delta$ 较小）。（3）在第二个应用中，我们考虑范围众数问题的批处理版本：给定一个长度为 $n$ 的序列和 $n$ 个连续子序列，要求计算每个子序列的范围众数。我们给出了该批处理范围众数问题的首个 $O(n^{1.5-\epsilon})$（$\epsilon>0$）时间算法。（4）我们最后一个应用是针对最大子数组问题：给定一个 $n\times n$ 整数矩阵，找出元素和最大的连续子数组。我们表明，只要元素绝对值不超过 $O(n^{0.62})$，最大子数组可在真正次立方的 $O(n^{3-\epsilon})$（$\epsilon>0$）时间内求解。我们还改进了最大子数组的 $d$ 维变体所有已知的条件 hardness 结果。