Gradshteyn 与 Ryzhik 积分表中一积分的真值

Victor Moll 指出 Gradshteyn 和 Ryzhik 积分表第六版中条目 3.248.5 是错误的。他数年前询问该积分的真值是多少。我用两个椭圆积分将其求值。该求值虽繁琐但属标准过程，运用了实分析与复分析。我证明 $$\int_0^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}[\varphi(x)+\sqrt{\varphi(x)}]^{1/2}}= \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\Pi(\pi/2,k,3^{-1/2})-\frac{1}{\sqrt{2}}F(\alpha, 3^{-1/2}),$$ 其中 $\varphi(x)=1+4x^2/2(1+x^2)^2$，$k=2-\sqrt{3}$，$\alpha=\arcsin\sqrt{k}$，且 $F(\varphi,k)$、$\Pi(\varphi,n^2,k)$ 分别为第一类与第三类椭圆积分。