一个涉及椭圆积分的函数恒等式

我们证明了以下二重积分 $$\int_{0}^\pi {\rm d}x \int_0^x {\rm d}y \frac{1}{\sqrt{1-\smash[b]{p}\cos x}\sqrt{1+\smash[b]{q\cos y}}}$$在将参数 $p$ 和 $q$ 分别替换为 $p'=\sqrt{1-p^2}$ 和 $q'=\sqrt{1-q^2}$ 时保持不变。这一不变性性质源自半导体霍尔效应器件工作特性中的对称性考虑。