修剪森林是困难的（除非它们由星图构成）

图修改问题询问使图满足某些预定性质所需的最少顶点/边添加/删除次数。Yannakakis于1981年提出的一类此类（元）问题，要求确定对于哪些性质 ${\mathcal P}$，计算使图满足 ${\mathcal P}$ 所需的最少边删除数是NP难的。尽管过去40年被广泛研究，该问题仍远未解决。事实上，即便当 ${\mathcal P}$ 是对于某个固定图 $H$ 的无 $H$ 图性质时，也仍未解决。此时我们用 $\text{rem}_{H}(G)$ 表示将 $G$ 变为无 $H$ 图所需的最少边删除数。Alon、Sudakov和Shapira [Annals of Math. 2009] 证明了若 $H$ 非二分图，则计算 $\text{rem}_{H}(G)$ 是NP难的。他们留下了分类哪些二分图 $H$ 使计算 $\text{rem}_{H}(G)$ 为NP难的问题。本文解决了 $H$ 为森林的情形，表明若 $H$ 为星图森林则计算 $\text{rem}_{H}(G)$ 可在多项式时间内求解，否则为NP难。我们工作的主要创新在于为Yannakakis问题引入了全新的图论方法，与先前所有相关著作显著不同。特别地，我们证明了关于Erd\H{o}s和S\'os一个古老而著名猜想的新结果，这具有独立意义。