双电层电容器的瞬态动力学：Debye-Falkenhagen 近似下的精确表达式

我们重新审视理论电化学中的一个经典问题：施加微小突加外电势时双电层电容器（EDLC）的响应。我们求解 Debye-Falkenhagen 方程，得到关键 EDLC 量的精确表达式：离子电荷密度、离子电流密度与电场。与早期工作相反，我们的结果不限于这些量的长时间渐近行为。解取无穷级数形式，其逐项均以指数衰减且弛豫时间依次变短。重要的是，上述所有 EDLC 量具有相同的弛豫时间集合；这一性质在物理上必然要求，但在近似方案中通常无法实现。决定长时间衰减的最大弛豫时间尺度 $\tau_{1}$ 的标度关系与早期结果一致：取决于 Debye 长度 $\lambda_{D}$ 与电极间距 $2L$，当 $L\gg\lambda_{D}$ 时为 $\tau_{1}\simeq\lambda_{D} L/D$，当 $L\ll\lambda_{D}$ 时为 $\tau_{1} \simeq 4 L^2/(\pi^2 D)$（其中 $D$ 为离子扩散系数）。