球面上最近邻的权衡

我们考虑球面上（近似）最近邻问题的查询与更新复杂度之间的权衡，将最近的球面滤波器扩展到稀疏机制，并推广该方案与分析以解释不同权衡。简而言之，对于稀疏机制，大小为$n$的数据集的查询复杂度$n^{\rho_q}$与更新复杂度$n^{\rho_u}$之间的权衡由以下涉及近似因子$c$及指数$\rho_q$和$\rho_u$的方程给出：$$c^2\sqrt{\rho_q}+(c^2-1)\sqrt{\rho_u}=\sqrt{2c^2-1}.$$ 对于小$c=1+\epsilon$，最小化更新时间导致线性空间复杂度，代价是查询时间复杂度$n^{1-4\epsilon^2}$。平衡查询与更新代价导致最优复杂度$n^{1/(2c^2-1)}$，与[Andoni-Razenshteyn, 2015]和[Dubiner, IEEE-TIT'10]的界匹配，并与[Andoni-Razenshteyn, STOC'15]和[Andoni-Indyk-Laarhoven-Razenshteyn-Schmidt, NIPS'15]的渐近复杂度匹配。可以以阶为$n^{1/(4\epsilon^2)}$的空间复杂度代价实现亚多项式查询时间复杂度$n^{o(1)}$，与[Andoni-Indyk-Patrascu, FOCS'06]和[Panigrahy-Talwar-Wieder, FOCS'10]的界$n^{\Omega(1/\epsilon^2)}$匹配，并改进了[Indyk-Motwani, STOC'98]和[Kushilevitz-Ostrovsky-Rabani, STOC'98]的结果。对于大$c$，最小化更新复杂度导致查询复杂度$n^{2/c^2+O(1/c^4)}$，相比[Kapralov, PODS'15]大$c$的相关指数改进了2倍，并与[Panigrahy-Talwar-Wieder, FOCS'08]的界$n^{\Omega(1/c^2)}$匹配。平衡代价导致最优复杂度$n^{1/(2c^2-1)}$，而最小查询时间复杂度可用更新复杂度$n^{2/c^2+O(1/c^4)}$实现，相比Kapralov先前的最佳指数改进了2倍。