追踪代数几何码: 为了逼近 Gilbert-Varshamov 界
信息论
2025-11-13 v1 计算复杂性
代数几何
math.IT
摘要
编码理论中最古老的问题之一是如何用显式二进制码匹配 Gilbert-Varshamov 界。在更大但仍是常数大小的域上，代数几何码已知能够超越 GV 界。本文通过对代数几何码进行迹运算来利用这一现象。我们希望的是，代数几何码超越 GV 界的余量能够抵御从常数域扩张到二进制场所施的迹运算参数损失。与串联及通常的字母约简方法不同，我们对迹-代数几何码(TAG码)的分析在整个过程中都利用了代数几何码的代数结构，包括在字母约简步骤中。我们的主要技术贡献是一个适用于TAG码分析的型Hasse-Weil定理。经典定理（及其Grothendieck迹公式扩展）在此背景下并不充分。尽管我们没有获得改进的构造，但我们指出，常数因数的强化界限足以实现目标。我们也分析了TAG码在本界下的局限性，并证明在高距离 regime 下，它们低于码串联。我们的Hasse-Weil型定理的适用范围远超分析TAG码的需求范围。特别是，我们推导了新的指数和估计。
引用
@article{arxiv.2511.08788,
title = {Tracing AG Codes: Toward Meeting the Gilbert-Varshamov Bound},
author = {Gil Cohen and Dean Doron and Noam Goldgraber and Tomer Manket},
journal= {arXiv preprint arXiv:2511.08788},
year = {2025}
}