迈向小圆尺寸下 Kaluza-Klein 理论中静态黑洞的唯一性定理

Kaluza-Klein 理论，我们指的是具有渐近结构为圆与 Minkowski 时空乘积的五维真空引力，它拥有多种不同的静态黑洞解：局域化黑洞以及均匀和非均匀黑弦。目前这些解尚无唯一性定理，并且对于固定的圆尺寸，存在多个质量相同的解。直观上，对于小圆尺寸，我们可能期望该理论截断为四维，相应地，唯一的黑洞是均匀黑弦。因此我们猜想，对于固定的质量和足够小的圆尺寸，唯一的黑洞是均匀的。本文中，我们给出证据表明情况确实如此。首先，我们引入一个具有允许快子行为的势的玩具标量场模型。将该理论置于 Minkowski 与圆的乘积上，会得到一组与黑洞情况类似的静态均匀和非均匀解。我们证明，对于小圆尺寸，解必须是均匀的，这类似于我们对该玩具模型猜想的类比。一个易于推导的较弱陈述是关于解非均匀程度的界限——将该标量理论置于一个大的但有限的腔内，可以证明 Kaluza-Klein 模式的波函数范数在小圆极限下趋于零。转向完整的引力理论，我们采用一个度量拟设，该拟设施加了静态轴对称性，涵盖了均匀和非均匀黑弦（但不包括局域化解），并允许我们度量解的非均匀性。采用有限腔并施加与均匀性兼容的边界条件，我们展示了类似的结果；某些 Kaluza-Klein 模式的范数受圆尺寸的约束，这为我们的猜想提供了证据。