关于线性方程有限交换环上的 MinCSP 参数近似二分法
数据结构与算法
2024-11-20 v2
摘要
我们考虑 MIN-r-LIN(R) 问题：给定长度为 r 的线性方程系统 S，查找最小基数子集 Z，使得 S-Z 可满足。该问题是 NP-hard 的且 UGC-hard 以近似任何常数。因此，我们聚焦于以解的规模为参数的可参数化近似性。在来自欧几里得域的大类无限环 R 中，Dabrowski 等人 [SODA-2023] 获得了基于 Wahlstr"om [SODA-2017] 工作的 LP 方法获得 MIN-2-LIN(R) 的 FPT 算法。本文考虑 R 为有限交换环的 MIN-r-LIN(R)，开启了一系列研究，最终目标是证明二分定理，将可在常数范围内进行 FPT 近似的问题与不可在常数范围内进行 FPT 近似的问题区分开来。我们的项目是更大范围分类项目（涉及有限域 MinCSP 和 VCSP）的有希望的一步。Dabrowski 等人的算法仅适用于无零除子的环，其中在有限交换环中仅为域。处理零除子似乎是 LP 方法不可克服的障碍。作为回应，我们发展了针对大类称为 Bergen 环的有限交换环的常数因子 FPT 近似算法，从而证明了链环、主理想环以及 Z_m（m>1）的可近似性。我们补充算法结果以强大的下界。对于 r>2，我们指出该问题在任何常数范围内都不可 FPT 近似（除非 FPT=W[1]）。我们识别了一类非 Helly 环，其中 MIN-2-LIN(R) 不可 FPT 近似。在 ETH 下，我们也排除了对非线性环（例如其中 p 和 q 为互素数的 Z_{pq}）的 (2-e) 近似。为了在上限和下限之间缩小差距，我们为分析环奠定了几何方法的基础。
引用
@article{arxiv.2410.09932,
title = {Towards a Parameterized Approximation Dichotomy of MinCSP for Linear Equations over Finite Commutative Rings},
author = {Konrad K. Dabrowski and Peter Jonsson and Sebastian Ordyniak and George Osipov and Magnus Wahlström},
journal= {arXiv preprint arXiv:2410.09932},
year = {2024}
}