通过双线性映射研究有限生成环与代数中的丢番图问题

我们研究若干类有限生成环与代数中的多项式方程组系统。对于其中每一类中的一个环 R（或代数），我们通过方程组解释出某个有限域扩张（\mathbb{Q} 或 \mathbb{F}_p(t) 的，对某个素数 p 与变量 t）的整数环 O。这意味着 O 中的丢番图问题（多项式方程组系统的可判定性）可 Karp-归约到 R 中的同一问题。在若干情形中我们进一步通过方程组在 R 中解释出环 \mathbb{F}_p[t]，这意味着此时 R 中的丢番图问题不可判定。否则，环 O 是一个代数整数环，那么长期存在的猜想——\mathbb{Z} 总可由方程组在 O 中解释——便传递到 R。若成立，则意味着 R 中的丢番图问题亦不可判定。本文研究的某些有限生成环类如下：所有结合、交换、非幺环（幺情形的类似结论由 Eisentraeger 获得）；所有可能非结合、非交换、非幺且作为阿贝尔群有限生成的环；以及若干类有限生成非交换环。对有限生成结合交换幺环上的代数获得了类似结论。另一贡献是获得上述结果的技术：我们表明，给定有限生成阿贝尔群（或模）间的双线性映射 f: A\times B \to C，在温和假设下，存在一个具有良好性质的特定环（或代数）R，它可由多排序结构 (A,B,C;f) 中的方程组解释。该结果不仅对相关环与代数有意义，也对如群等其他结构有用，正如作者此前所展示。