面向舍入算术中多项式的精确求值

给定一个多变元实（或复）多项式 $p$ 和一个区域 $\cal D$，我们想判定是否存在一种算法，使用舍入实（或复）算术对全部 $x \in {\cal D}$ 精确求值 $p(x)$。这里「精确」指相对误差小于 1，即具有若干正确的前导数字。答案依赖于舍入算术的模型：我们假设对任意算术算子 $op(a,b)$（例如 $a+b$ 或 $a \cdot b$），其计算值为 $op(a,b) \cdot (1 + \delta)$，其中 $| \delta |$ 被某个常数 $\epsilon$ 界定（$0 < \epsilon \ll 1$），但 $\delta$ 在其他方面任意。该模型是用于分析浮点算法准确性的传统模型。我们的最终目标是建立一个判定过程，对任意 $p$ 和 $\cal D$，要么给出一种精确算法，要么证明不存在这样的算法。与数字以有限位串存储和操作（例如浮点数或有理数）的情形相反，我们证明某些多项式 $p$ 不可能被精确求值。精确算法的存在不仅取决于 $p$ 和 $\cal D$，还取决于可用的算术算子和常数，以及是否允许分支。朝此目标，我们给出 $p$ 能在开实或复区域 ${\cal D}$ 上被精确求值的必要条件，也给出充分条件，并描述通向完整判定过程的进展。我们确实给出了一个完整判定过程：针对具有整系数的齐次多项式 $p$、${\cal D} = \C^n$，且仅使用算术运算 $+$、$-$ 和 $\cdot$。