四流形上 $SU(2)$、$\mathcal{N}=2^*$ SYM 的拓扑关联函数

我们考虑在光滑紧四流形 $X$ 上带有质量伴随超多重态的拓扑扭转 $\mathcal{N}=2$、$SU(2)$ 规范理论。一个一致的公式化需要将理论耦合到 ${\rm Spin}^c$ 结构,若 $X$ 为非自旋则该结构必为非平凡。我们导出了当 $b_2^+\geq 1$ 时拓扑关联函数的显式公式。我们证明,当 ${\rm Spin}^c$ 结构由近复结构典范确定且质量取为零时,路径积分重现了带有 Vafa-Witten 扭转的 $\mathcal{N}=4$ 规范理论路径积分的已知结果。另一方面,在取合适的无穷质量极限后,我们重现了 Donaldson-Witten 理论的结果。拓扑关联函数是 UV 耦合常数 $\tau_{\rm uv}$ 的函数,我们确认它们服从预期的 $S$对偶变换律。配分函数的全纯部分是在瞬子模空间上物质(或阻碍)丛欧拉数的生成函数。对于 $b_2^+=1$,我们导出了路径积分的一个非全纯贡献,使得配分函数与关联函数是 mock 模形式而非模形式。我们评论了将此工作推广到广大 $\mathcal{N}=2$ 类 $S$ 理论的工作。