神经、Reeb 空间、Mapper 与多尺度 Mapper 的拓扑分析

数据分析通常不仅涉及数据来源的空间，还涉及附加在数据上的各种类型的映射。近年来，几种相关结构被用于研究数据上的映射，包括 Reeb 空间、Mapper 和多尺度 Mapper。这些结构的构建也依赖于定义域覆盖的所谓神经。在本文中，我们旨在分析这些结构中编码的拓扑信息，以便更好地理解这些结构并促进其实际应用。更具体地说，我们证明了，对于定义域 $X$ 的道路连通覆盖 $\mathcal{U}$，其神经复形 $N(\mathcal{U})$ 的一维同调不可能比定义域 $X$ 本身的同调更丰富。直观地说，这一结果意味着在从 $X$ 到神经复形 $N(\mathcal{U})$ 的自然映射下，不能“创造”出新的 $H_1$-同调类。通过为 $X$ 配备伪度量 $d$，我们进一步细化了这一结果，并利用 $\mathcal{U}$ 中覆盖元素的尺寸概念刻画了可能在神经复形中存活的 $H_1(X)$ 类。这些关于神经复形的基础结果随后引导出对 Reeb 空间、Mapper 和多尺度 Mapper 的 $H_1$-同调分析。遗憾的是，对 $H_1$-同调群的分析无法推广到更高维度。尽管如此，通过使用映射诱导度量，建立 Mapper 与定义域之间的 Gromov-Hausdorff 收敛结果，并对相关模进行交错，我们仍然能够分析（多尺度）Mapper 的持续同调群，以建立其与 Reeb 空间的联系。