买还是不买：基于节点加权图的确定性租买问题

我们研究了在节点加权和边加权图上的租买变体在线 Steiner 林问题。对于最多有 $\bar{n}$ 个非零节点权重的 $n$ 节点图，以及最多有 $\tilde{k}$ 个不同到达终端对的图，我们获得一个确定性的 $O(\log n \log \bar{n})$ 竞争算法。这改进了之前最好的 $O(\log^4 n)$ 竞争算法，即由 (Bartal 等 2021) 的黑盒化简加上之前最好的确定性算法得到。我们也获得一个确定性的 $O(\bar{n}\log \tilde{k})$ 竞争算法。这推广了 (Umboh 2015) 中纯边加权情形的 $O(\log \tilde{k})$ 竞争算法。我们也获得一个随机的 $O(\log \tilde{k} \log \bar{n})$ 竞争算法。所有之前的方法都基于~\cite{AwerbuchAzarBartal96} 的随机黑盒化简，当与适用于“仅购买”情形的算法结合时，可实现 $O(\log \tilde{k} \log n)$ 的竞争比。我们的关键技术要素是对一种新型收费方案进行实例化，即 \emph{在线奖励收集集合覆盖}。这使我们能够将 (Umboh 2015) 的见证技术推广到节点加权情形，并获得对 $\bar{n}$ 的细化保证，已在大大简化的“仅购买”情形中实现。