匹配与地球运输距离的紧密配对查询下界

我们研究了为估计大小为 $n$ 的顶点图 $G$ 中的最大匹配所需的邻接矩阵查询数（也称为配对查询）。本文针对这一基本问题进行研究。在上界方面，Bhattacharya、Kiss 和 Saranurak [FOCS'23] 提出的算法给出一个在右侧界值上相差 $\epsilon n$ 的估计，查询次数为 $n^{2-\Omega_\epsilon(1)}$，该算法在 $n$ 中是亚二次的（因此在矩阵大小中是亚线性的），适用于任何固定的 $\epsilon > 0$。在下界方面，尽管邻接列表模型中已有许多进展，但针对具有邻接矩阵查询访问权限的算法尚未建立非平凡下界。特别是，唯一已知的下界是 $\Omega(n)$ 的常规下界，留下了巨大的间隙。本文提出了该问题的第一个超线性于 $n$ 的下界。事实上，我们完全闭合了上述的间隙，证明了 [BKS'23] 的算法是最优的。正式地，我们证明对于任意固定的 $\delta > 0$，都存在固定的 $\epsilon > 0$，使得距离真实值相差 $\epsilon n$ 的估计需要 $\Omega(n^{2-\delta})$ 个邻接矩阵查询。我们的下界还对估计分布之间的地球运输距离具有强大的含义。对于该问题，Beretta 和 Rubinstein [STOC'24] 提出了一个时间复杂度为 $n^{2-\Omega_\epsilon(1)}$ 的算法，可获得加法 $\epsilon$ 近似值，适用于任何距离函数。是否可以一般性地改进，甚至对于度量空间，仍是未知的。我们的下界排除了对该下界的任何改进的可能性，即便在 underlying distances 属于 (1, 2)-度量的强假设下也无济于事。