二维盒子中非相互作用 Bose 气体的热力学

本文研究了在具有 Dirichlet 边界条件的二维盒子中 N 个粒子的非相互作用 Bose 气体的 Bose-Einstein 凝聚（BEC）。与先前的工作一致，我们发现 BEC 在有限 N 和低温 T 下发生，且不发生相变。结果表明，无限大 3 维系统传统定义的转变温度 TE，在有限 N 的 2 维系统中对应于随着 T 降低基态分数 Bose 占据数 N0/N 从缓慢增加到快速增加之间的 crossover 温度。我们进一步表明，在固定每个 Bose 气体的面积时 TE ~ 1/log(N)，因此在热力学极限下，2 维中在有限 T 下没有显著的 BEC。因此，看似矛盾的是，BEC 在 2 维中仅在有限 N 下发生，且没有与之相关的相变。本文给出了热力学性质随 T 和面积 A 变化的计算结果，包括 Helmholtz 自由能、熵 S、压强 p、p 与能量密度 U/A 之比、定容（面积）热容 CV 和定压热容 Cp、等温压缩率 kappa_T 和热膨胀系数 alpha_p，这些结果分别使用巨正则系综（GCE）和正则系综（CE）形式推导而得。GCE 形式在 N、T 和 A 较大时对 S、p、p/(U/A)、kappa_T 和 alpha_p 给出了可接受的预测，但在 BEC 变得显著的这三个参数较小时失效，而 CE 形式即使在发生 BEC 的低 T 和/或 A 下，也能对有限系统的所有热力学性质给出准确的结果。