对抗性比特删除的零速率阈值小于1/2

我们证明存在绝对常数 $\delta>0$，使得任何容忍 $(1/2-\delta)N$ 次对抗性删除的二进制码 $C\subset\{0,1\}^N$ 必满足 $|C|\le 2^{\text{poly}\log N}$，从而其速率渐近趋于0。这是相较于平凡界（即容忍 $N/2$ 次对抗性删除的码其速率必渐近趋于0）的第一个常数分数改进。等价地，我们证明存在绝对常数 $A$ 和 $\delta>0$，使得任意由 $2^{\log^A N}$ 个二进制串组成的集 $C\subset\{0,1\}^N$ 必包含两串 $c$ 与 $c'$，其最长公共子序列长度至少为 $(1/2+\delta)N$。作为一个直接推论，我们证明容忍占比 $1-(1+2\delta)/q$ 的对抗性删除的 $q$ 元码其速率亦必趋于0。我们的技术包括串正则性论证以及按振荡模式对二进制串分类的结构引理。借助这些工具，我们在任意大码中找到两个具有相似振荡模式的串，并由此提取出长公共子序列。