球形腔体模态的零频率极限：关于 v=1 的形式端点

球形腔体的横磁(TM)模态满足将角度本征值 $\nu$ 与共振频率通过球形玻尔兹曼函数导数的零点相联系的色散关系。对该色散关系在 $\nu = -1$ 处进行解析延拓可得形式上的零频率端点，其中 $j_{-1}(x) = \cos x / x$ 具有根 $x = 0$。我们详细考察了这一极限，表明虽然数学上定义明确，但该端点不对应实际的电磁模态。角度 Sturm-Liouville 算子的正性将物理本征值限制在 $\nu \geq 0$，将 $\nu = -1$ 置于不可接受的谱中。我们演示即使在这一极限下，所有电磁场分量都为零，尽管底层的 Debye势 $\Pi = \cos(kr)/kr$ 仍然非平凡，并在原点处表现出偶极子类型奇点。这种势与场之间的区别反映了在球对称配置下 curl-curl 算子的核结构。该分析阐明了在球形几何中 propagating 电磁模态与静电场配置之间的边界，将形式端点与腔体量子化中关于模态计数的长期问题联系起来。