Kerdock、Preparata、Goethals 及相关码的 Z_4-线性性

某些著名的非线性二元码所含码字数多于任何已知的线性码。这些包括由 Nordstrom-Robinson、Kerdock、Preparata、Goethals 和 Delsarte-Goethals 构造的码。本文证明所有这些码都可以非常简单地构造为 Z_4（模 4 整数）上线性码在 Gray 映射下的二元像（尽管这需要对 Preparata 和 Goethals 码稍作修改）。该构造意味着所有这些二元码都是距离不变的。Z_4 域中的对偶性意味着这些二元像具有对偶重量分布。Kerdock 码与“Preparata”码在 Z_4 上是对偶的——而 Nordstrom-Robinson 码是自对偶的——这解释了它们的重量分布为何彼此对偶。Kerdock 码与“Preparata”码分别是 Z_4 上的一阶 Reed-Muller 码与扩展 Hamming 码的类似物。所有这些码都是 Z_4 上的扩展循环码，这极大简化了编码与解码。本文给出了“Preparata”码的一种代数硬判决译码算法，以及 Kerdock 码的一种 Hadamard 变换软判决译码算法。二元一阶与二阶 Reed-Muller 码在 Z_4 上也是线性的，但长度 n >= 32 的扩展 Hamming 码以及 Golay 码则不是。利用 Z_4-线性性，在“Preparata”码的陪集上构造了一类新的距离正则图。