Torelli 空间上的泛曲面丛没有截面

对于 $g>3$，我们给出了 Torelli 群的 \emph{Birman 正合序列} $$1\to \pi_1(S_g)\to {\cal I}_{g,1}\to {\cal I}_g\to 1$$ 不分裂的两种证明。G. Mess 在 \cite{mess1990unit} 中声称了这一结果，但其证明存在一个关键且无法修复的错误，将在引言中予以讨论。令 ${\cal UI}_{g,n}\xrightarrow{Tu'_{g,n}} {\cal BI}_{g,n}$（对应地，${\cal UPI}_{g,n}\xrightarrow{Tu_{g,n}}{\cal BPI}_{g,n}$）表示将 $n$ 个点作为一个集合（对应地，逐点）固定的 Torelli 空间上的泛曲面丛。我们还推导出，当 $n>1$ 时 $Tu'_{g,n}$ 没有截面，并且在同伦意义下，当 $n\ge 0$ 时 $Tu_{g,n}$ 恰好有 $n$ 个不同的截面。