dg范畴的扭曲张量积与一个可缩2-operad

众所周知，以域$k$上的小dg范畴为对象、以dg函子为一态射、以相干自然变换的复形为二态射的“预2-范畴”$\mathscr{C}at_\mathrm{dg}^\mathrm{coh}(k)$并非严格的2-范畴。在[T2]中，D.Tamarkin构造了M.Batanin[Ba3]意义下的一个可缩2-operad，作用于$\mathscr{C}at_\mathrm{dg}^\mathrm{coh}(k)$。根据Batanin上述文献，这是定义“弱2-范畴”的一种可能途径。本文给出作用于$\mathscr{C}at_\mathrm{dg}^\mathrm{coh}(k)$的另{\it 一个}可缩2-operad $\mathcal{O}$的构造。我们的主要工具是[Sh3]中引入的小dg范畴的{\it 扭曲张量积}。我们建立了扭曲张量积的单边结合性，使$(\mathscr{C}at_\mathrm{dg}^\mathrm{coh}(k),\overset{\sim}{\otimes})$成为[LS]意义下的斜幺半范畴，并构造了{\it 扭曲复合}$\mathscr{C}oh_\mathrm{dg}(D,E)\overset{\sim}{\otimes}\mathscr{C}oh_\mathrm{dg}(C,D)\to\mathscr{C}oh_\mathrm{dg}(C,E)$，且证明了这两种结构之间的若干相容性。综合起来，这两种结构给出一个作用于$\mathscr{C}at_\mathrm{dg}^\mathrm{coh}(k)$的2-operad $\mathcal{O}$。其可缩性是[Sh3]中一个一般性结果的推论。