由线性细胞自动机生成的$\mathbb{Z}^2$-作用的拓扑方向熵

本文研究了由加法细胞自动机（以下简称 CA）生成的$\mathbb{Z}^2$-作用的拓扑与测度方向熵，该自动机由局部规则$f[l, r]$定义，其中$l, r\in \mathbb{Z}$，$l\leq r$，即映射$T_{f[l, r]}: \mathbb{Z}^\mathbb{Z}_{m} \to \mathbb{Z}^\mathbb{Z}_{m}$，其定义为$T_{f[l, r]}(x) =(y_n)_ {-\infty}^{\infty}$，$y_{n} = f(x_{n+l}, ..., x_{n+r}) = \sum_{i=l}^r\lambda_{i}x_{i+n}(mod m)$，$x=(x_n)_ {n=-\infty}^{\infty}\in \mathbb{Z}^\mathbb{Z}_{m}$，且$f: \mathbb{Z}_{m}^{r-l+1}\to \mathbb{Z}_{m}$，定义在环$\mathbb{Z}_m (m \geq 2)$上，以及作用于紧度量空间$\mathbb{Z}^\mathbb{Z}_{m}$的移位映射，其中$m$ $(m \geq2)$为正整数。我们的主要目标是给出一种算法，用于计算由加法 CA 和移位映射生成的$\mathbb{Z}^2$-作用的拓扑方向熵。因此，我们致力于给出由对$(T_{f[l, r]}, \sigma)$生成的$\mathbb{Z}^2$-作用在方向$\theta$上的拓扑方向熵的闭式公式，该公式能够像 [Theor. Comput. Sci. 290 (2003) 1629-1646] 中那样，利用局部规则$f$的系数进行高效且正确的计算。我们将 Ak\i n [The topological entropy of invertible cellular automata, J. Comput. Appl. Math. 213 (2) (2008) 501-508] 获得的结果推广至任意可逆线性 CA 的拓扑熵。