网络与单纯复形的拓扑狄拉克方程

我们定义了描述网络或单纯复形上拓扑波函数演化的拓扑狄拉克方程。在网络上，拓扑波函数描述拓扑信号或上链（即定义在节点和连边上的动态信号）的动力学。在单纯复形上，波函数也定义在更高维单形上。因此拓扑波函数满足一种松弛的局域性条件，因为它在维数大于零的单形上取相同的值。拓扑狄拉克方程定义了本征态，其色散关系由定义在网络及广义网络结构（包括单纯复形和多层网络）上的狄拉克（或手性）算符的谱性质决定。在单纯复形上，狄拉克方程导致多个能带。在多层网络上，拓扑狄拉克方程可推广以区分不同的多重连边，从而自然定义拓扑旋量的旋转。该拓扑狄拉克方程此处最初在空间网络或单纯复形上表述，用于描述拓扑波函数在连续时间中的演化。该框架也扩展到处理 $1+d$ 空间上的拓扑狄拉克方程，描述具有一个时间维和 $d$ 个空间维（$d\in \{1,2,3\}$）的离散时空。本工作还包括对单纯复形模型和真实简单与多层网络数据上实现拓扑狄拉克方程所得数值结果的讨论。