高阶拓扑信号的狄拉克信号处理

高阶网络能够承载拓扑信号，这些信号是不仅与节点相关，而且与连边、三角形以及一般地单纯复形的高维单形相关联的变量。这些拓扑信号可以描述大量真实系统，包括海洋中的洋流、神经元之间的突触电流以及生物运输网络。在实际场景中，拓扑信号数据可能含有噪声，一项重要任务是通过提高其信噪比来处理这些信号。迄今为止，拓扑信号通常彼此独立地处理。例如，节点信号独立于连边信号处理，而能够跨不同维度对拓扑信号进行一致性处理的算法在很大程度上是缺乏的。在此我们提出狄拉克信号处理，一种自适应、无监督的信号处理算法，它学习以一致的方式联合滤波支撑在单纯复形的节点、连边和三角形上的拓扑信号。所提出的狄拉克信号处理算法用离散狄拉克算子表述，该算子可解释为高阶霍奇拉普拉斯算子的“平方根”。我们详细讨论了狄拉克算子的性质，包括其谱及其特征向量的手性，并采用该算子来表述能够对定义在单纯复形节点、连边和三角形上的含噪信号进行滤波的狄拉克信号处理。我们在含噪合成数据以及海洋中漂移浮标的含噪数据上测试了我们的算法，发现该算法能够学习高效地重建真实信号，优于完全基于霍奇拉普拉斯算子的算法。