多维持续模上的交错距离理论

2009年，Chazal 等人引入了持续模的 $\epsilon$-交错。$\epsilon$-交错在持续模的（同构类）上诱导出一个伪度量 $d_I$，即交错距离。$\epsilon$-交错和 $d_I$ 的定义可以直接推广到多维持续模。在本文中，我们发展了多维交错理论，旨在应用于拓扑数据分析。我们给出了四个主要结果。首先，我们证明了在1维持续模上，$d_I$ 等于瓶颈距离 $d_B$。该结果首次出现在本文早期的预印本中，后来也出现在其他几处，现被称为等距定理。其次，我们给出了多维持续模上 $\epsilon$-交错关系的刻画。这清楚地表达了两个 $\epsilon$-交错模在代数上相似的含义。第三，利用这一刻画，我们证明了当在素域上定义持续模时，$d_I$ 满足一个泛性性质。该泛性结果是本文的核心结果。它表明 $d_I$ 满足的稳定性性质推广了已知 $d_B$ 满足的性质，并且此外，如果 $d$ 是多维持续模上满足相同稳定性性质的任何其他伪度量，则 $d\leq d_I$。我们还证明了该泛性结果的一个变体在任意域上对 $d_B$ 成立。最后，我们证明了 $d_I$ 限制在有限表示的多维持续模的同构类上是一个度量。