计数 0-1 平衡矩阵的（符号与数值）计算挑战

棋盘具有如下性质：每一行和每一列中白格子数与黑格子数相等。本篇方法性笔记中，我们研究计数具有固定（数值型）行数、但具有任意（符号型）列数的此类矩形数组的问题。我们首先解决"纯粹"问题，即无任何限制，然后进一步讨论计数此类二进制数组且不可包含指定（有限）水平图案以及指定垂直图案的问题。虽然我们可严格证明每个此类序列满足带多项式系数的线性递推方程，但实际求解这些递推方程仍面临重大符号计算挑战，我们仅能在少数情况下克服。事实上，仅生成这些序列的尽可能多的项也是巨大的数值计算挑战。这一问题曾由计算机高手 Ron H. Hardin 解决，他贡献了多个此类序列，并计算了每个序列相当多的项。我们显著扩展了 Hardin 的序列。我们也讨论计数此类受限制数组（无平衡条件）的问题。