所有宽度为1的矩阵之和

若非负整数矩阵的非零项位于一条由向南与向东步构成的通路上,则称其为宽度为1的矩阵。这些矩阵在最优传输理论中十分重要:例如西北角算法取供给与需求向量并输出一个宽度为1的矩阵。本文的问题是写出所有宽度为1的矩阵(给定维数 $n \times n$ 且给定元素和 $d$)之和的显式公式。我们证明两个惊人不同的公式。第一个是单位参数的 ${}_4 F_3$ 超几何级数,通过将 Robinson-Schensted-Knuth 对应应用于宽度为1的矩阵得到;第二个通过 Stanley-Reisner 理论得到。在计算上,我们的两个公式互为补充:若 $d$ 固定而 $n$ 增大,第一个公式优于第二个;若 $n$ 固定而 $d$ 增大,第二个优于第一个。我们还展示了我们的结果如何给出离散推土机距离(即运输问题的解)均值的一个新的非递归公式,只要代价矩阵具有 Monge 性质。