Lipschitz函数的一阶和二阶次微分

构建一阶和二阶次微分的统一理论对许多优化专家来说是有趣的。本文介绍了一阶和二阶次微分的构造规则。构造借助Lipschitz函数$f(\cdot)$在集值映射$D(\cdot)$像上的Steklov积分。证明了由沿引入的曲线集$\eta$中的曲线$r(\cdot)$计算的梯度$\nabla f(r(\cdot))$的平均积分极限值组成的一阶次微分，与作者首次在\cite{lowapp2}、\cite{lowapp2a}中引入的利用Steklov积分构造的一阶次微分一致。如果函数$f(\cdot)$在$x$处二次可微，则一阶和二阶次微分与梯度$\nabla f(r(\cdot))$和$f(\cdot)$在$x$处的二阶混合导数矩阵一致。广义梯度和矩阵用于表述最优性的必要和充分条件。构造了一阶和二阶次微分的微积分。给出了例子。