输入输出网络中无穷小稳态的结构

稳态指系统的输出 x_o 在输入 I 变化时近似恒定的现象。稳态频繁出现于生化网络及其他相互作用要素网络中，其数学模型基于与网络关联的微分方程。这些网络可抽象为有向图 G，带一个特异输入节点 ι、一个不同的特异输出节点 o，以及若干调节节点 ρ_1,…,ρ_n。在这些模型中，输入输出映射 x_o(I) 由 I_0 处的稳定平衡 X_0 定义。稳定性意味着在 I_0 附近的每个 I 均存在稳定平衡 X(I)，而当 (dx_o/dI)(I_0) = 0 时，在 I_0 处发生无穷小稳态。我们证明存在一个 (n+1)×(n+1) 稳态矩阵 H(I)，使得 dx_o/dI = 0 当且仅当 det(H) = 0。我们注意到 H 中的条目为线性化耦合，且 det(H) 是这些条目中次数为 n+1 的齐次多项式。我们利用组合矩阵理论分解多项式 det(H)，从而确定与每个有向图 G 关联的不同类型可能稳态的清单。具体而言，我们证明每个因子对应于 G 的一个子网络。这些因子分为两个组合定义的类：结构性与附属型。结构性因子对应于前馈模体，附属型因子对应于反馈模体。最后，我们发现了一种算法，可在不对模型方程进行数值模拟的情况下，确定对应于 det(H) 每个因子的稳态子网络模体。该算法使我们能够对 det(H) 的低次因子进行分类。