常规与非常规情形下的强 Borel–Cantelli 性质

我们研究事件与序列空间上平移的强 Borel-Cantelli 性质，分别考虑常规与非常规两种情形。即，在关于事件 $\Gamma_1,\Gamma_2,...$ 的一定条件下，我们证明以概率一有 $$\left(\sum_{n=1}^N\prod_{i=1}^\ell P(\Gamma_{q_i(n)})\right)^{-1}\sum_{n=1}^N\prod_{i=1}^\ell\mathbb{I}_{\Gamma_{q_i(n)}}\to 1\,\,\mbox{as}\,\, N\to\infty$$ 其中 $q_i(n),\, i=1,...,\ell$ 是满足某些假设的整数值函数，$\mathbb{I}_\Gamma$ 表示 $\Gamma$ 的示性函数。当 $\ell=1$（称为常规情形）时，该收敛性可在 $\phi$-混合条件下建立；而当 $\ell>1$（称为非常规情形）时，需要更强的 $\psi$-混合条件。这些结果被推广到序列空间的平移 $T$，其中 $\Gamma_{q_i(n)}$ 被 $T^{-q_i(n)}C_n^{(i)}$ 替代，这里 $C_n^{(i)},\, i=1,...,\ell,\, n\geq 1$ 是柱集序列。作为应用，我们研究了某些对数距离函数最大值以及收缩柱集的（多重）击中时间的渐近行为。