4-连通平坦图的强 Arnold 性质

我们证明，如果 $G=(V,E)$ 是一个 4-连通平坦图(flat graph)，那么任意实对称 $V\times V$ 矩阵 $M$ 恰有一个负特征值，并且满足对任意两个不同顶点 $i$ 和 $j$，若 $i$ 和 $j$ 相邻则 $M_{ij}<0$，若 $i$ 和 $j$ 不相邻则 $M_{ij}=0$，具有强 Arnold 性质(Strong Arnold Property)：不存在非零实对称 $V\times V$ 矩阵 $X$ 使得 $MX=0$ 且当 $i$ 和 $j$ 相等或相邻时 $X_{ij}=0$。(图 $G$ 被称为 {\em flat}，如果它可以单射地嵌入 $3$ 维欧氏空间，使得任意回路的像是某个与图剩余部分的像不相交的磁盘的边界。)这适用于 Colin de Verdi\`ere 图参数，并推广了关于 2-连通外平面图和 3-连通平面图的类似结果。