量子十字的谱常数及环形区域的渐近紧致界限

类型为 $r$ 的量子环是单值在 $(1/r, r)$ 区间内的可逆算子集合。给定经典环形区域类型为 $r$ 的解析函数，可在量子环中的算子上进行评估。谱常数给出量子环中算子评估范数上确界与经典评估上确界之间最大比值。我们证明当 $r$ 无穷大时，谱常数的极限为 $2$。通过环形区域与双曲线之间的对应关系，我们将问题退化到量子十字上，双个乘积为零的收缩算子对，此时谱常数恰为 $2$。核心技术是将 $Z$ 做有理扩张至 $\hat{Z}$，使得 $U = (\hat{Z} + (\hat{Z}^{-1})^*) / (r + 1/r)$ 为酉算子，直接估计 $Uf(\hat{Z})U^*$。